单项最高权重模组的伯恩斯坦度的组合解释

伯恩斯坦度（$\operatorname{Deg}$）是实数可约 Lie 群 $G_{\mathbb{R}}$ 可接受表示的一个基本不变量。我们的主要结果涉及经典双对 $(G_{\mathbb{R}}, H_{\mathbb{R}}(k))$，即 $(\operatorname{U}(p,q), \: \operatorname{U}(k))$、$((\operatorname{Mp}(2n, \mathbb{R}), \: \operatorname{O}(k))$ 和 $((\operatorname{O}^*(2n), \: \operatorname{Sp}(k))$，其中 $k$ 为任意正整数。在此设置下，通过 Howe 双线性对偶，每个不可约表示 $\sigma$ of $H_{\mathbb{R}}(k)$ 对应于 $G_{\mathbb{R}}$ 的单项最高权重模组 $L_{\lambda(\sigma)}$。Nishiyama-Ochiai-Taniguchi (2001) 的一个里程碑式结果将 $\operatorname{Deg} L_{\lambda(\sigma)}$ 表示为两个量的乘积：$\sigma$ 的维数和相关变种的度。然而，这一结果仅适用于参数 $k$ 的特定范围（即 $k \leq r$，其中 $r$ 为 $G_{\mathbb{R}}$ 的实秩）。本文通过引入对所有 $k$ 的组合解释 $\operatorname{Deg} L_{\lambda(\sigma)} = \#( \mathcal{Q}_k(\sigma) \times \mathcal{P}_k$，其中 $\mathcal{Q}_k(\sigma)$ 为特定的半标准表格集合，$\mathcal{P}_k$ 为平面分区集合。（在 $\operatorname{Mp}(2n, \mathbb{R})$ 情形下，此结果部分仍为假设。）除了双对设置外，我们将集合 $\mathcal{P}_k$ 推广到所有 Hermitian 类型的群 $G_{\mathbb{R}}$，并为 $\operatorname{E}_6$ 和 $\operatorname{E}_7$ 的某些单项最高权重模组族展示出 Nishiyama-Ochiai-Taniguchi 结果的类比。