所有最高权模的权公式及高阶抛物型范畴$\mathcal{O}$

设$\mathfrak{g}$为复Kac-Moody代数，其Cartan子代数为$\mathfrak{h}$。并固定一个权$\lambda\in\mathfrak{h}^*$。对于$M(\lambda)\twoheadrightarrow V$任意最高权$\mathfrak{g}$-模，我们给出$V$的权的一个无消去、非递归公式。这在有限型中亦是新颖的，且由$\lambda$以及与$V$相关的$\mathfrak{g}$的Dynkin图上一族独立集$\mathcal{H}=\mathcal{H}_V$得到。我们的证明使用并揭示了一个（对每个$\lambda$的）有限族“高阶Verma模”$\mathbb{M}(\lambda,\mathcal{H})$——这些是关于权考量的一切泛模。它们（i）推广并包含抛物型Verma模$M(\lambda,J)$，（ii）具有两两不同的权集，这些权集穷尽了所有模$M(\lambda)\twoheadrightarrow V$的权集。作为一个应用，我们解释了Verma的$M(\lambda)$模与Lepowsky的$M(\lambda,J_V)$模分别在何种意义下是每个$V$的零阶与一阶上逼近，并延续到高阶上逼近$\mathbb{M}_k(\lambda,\mathcal{H}_V)$（以及下逼近）。我们确定了$V$的每个$k$阶可积性。随后我们引入范畴$\mathcal{O}^\mathcal{H}\subset\mathcal{O}$，这是一个包含高阶Verma模$\mathbb{M}(\lambda,\mathcal{H})$的高阶抛物型类比。我们证明$\mathcal{O}^\mathcal{H}$具有足够多的投射模，并通过对$\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_2^{\oplus n}$上所有$\mathcal{O}^\mathcal{H}$证明其BGG互反性，开启了对BGG互反性的研究。最后，我们在某些情形（包括所有秩3的$\mathfrak{g}$）下给出了泛模$\mathbb{M}(\lambda,\mathcal{H})$的BGG分解；这给出了它们的Weyl型特征标公式，以及抛物型Weyl半群的作用。