$\mathcal{O}^\mathfrak{p}$ 中单模 Dirac 上同调的几何与代数参数化及其应用

本文中，我们证明 $\mathcal{O}^\mathfrak{p}$ 中单最高权模 $L(\lambda)$ 的 Dirac 上同调 $H_{D}(L(\lambda))$ 可由一特定权集参数化：即 Weyl 群 $W$ 作用于 $\lambda+\rho$ 的轨道的一个子集 $\mathcal{W}_I(\lambda)$。作为一个应用，我们证明 $\mathcal{O}^\mathfrak{p}$ 中的任意单模由其 Dirac 上同调在同构意义下唯一确定。当 $\lambda$ 为正则时，我们描述了 $H_D(L(\lambda))$ 的四种参数化。其中两种参数化分别是基于 Cartan 子代数对偶上的偏序和强连通性的推广的几何参数化。利用这些几何参数化，我们推导了分别基于 Verma 模合成因子的重数和 Verma 模之间嵌入的两个代数参数化。作为一个应用，对于具有正则无穷小特征的 Verma 模，我们得到了 Verma-BGG 定理的扩展版本。我们还研究了 Kostant 模的 Dirac 上同调。利用 Dirac 上同调，我们给出了 Verma 模单纯性判据的新证明，并描述了具有正则无穷小特征的抛物 Verma 模的一个新单纯性判据。