关于系数为单模的 $\mathrm{SL}_2$ 的上同调

设 $G$ 为定义在特征 $p > 0$ 的代数闭域 $k$ 上的单代数群 $\mathrm{SL}_2$。利用 A. Parker 的结果，我们发展了一种方法，该方法对任意 $q \in \mathbb{N}$，给出了所有满足 $\mathrm{H}^q(G,M) \neq 0$ 的单模 $M$ 的闭式描述，以及相应的维数 $\mathrm{dim}\mathrm{H}^q(G,M)$。我们将此方法应用于任意素数 $p$ 及 $q \leq 3$ 的情形，在此过程中验证了 Cline 和 Stewart 的结果。此外，我们证明了在假设 $p > q$ 下，对任意单模 $M$，上同调 $\mathrm{H}^q(G,M)$ 的维数至多为 1。基于此证据，我们讨论了一个关于一般半单代数群的猜想。