$SL_2$ 及相关结构的上同调

设 $SL_2$ 为定义在特征 $p>0$ 的代数闭域 $k$ 上的秩一单代数群。本文提出了一种计算 Weyl $SL_2$-模 $V(m)$ 的上同调空间 $\text{H}^n(SL_2,V(m))$ 维数的新方法。我们给出了当 $n\le 2p-3$ 时 $\text{dim}\text{H}^n(SL_2,V(m))$ 的闭式公式，并证明该维数以第 $(n+1)$ 个 Fibonacci 数为界。随后利用该公式计算了 $n=1, 2,$ 或 $3$ 时的 $\text{dim}\text{H}^n(SL_2, V(m))$。对于 $n>2p-3$，得到了 $\text{dim}\text{H}^n(SL_2,V(m))$ 的一个仅依赖于 $n$ 的指数界。对于 Weyl 模 $V(m_1)$ 和 $V(m_2)$ 之间的扩张空间 $\text{Ext}^n_{SL_2}(V(m_2),V(m_1))$，也建立了类似的结果。特别地，我们确定了 $SL_2$ 所有 Weyl 模的三次扩张。作为副产品，我们的结果与技术给出了对称群 Specht 模上同调、$SL_2$ 单模上同调以及 Lie 型有限群 $SL_2(p^s)$ 上同调维数的显式上界。