Specht 模的一阶上同调与对称幂的扩张

设 $\Sigma_d$ 表示 $d$ 次对称群，$K$ 为特征 $p>0$ 的域。当 $p>2$ 时，我们给出由 $d$ 的划分 $\lambda$ 标定的 $K$ 上 Specht 模 ${\rm{Sp}}(\lambda)$ 的一阶上同调群 $H^1(\Sigma_d,{\rm{Sp}}(\lambda))$ 的显式描述。我们还给出了 $p=2$ 时上同调非零的充分条件，并找到了维数的下界。我们的方法是通过与 $K$ 上一般线性群 $G(n)$ 的上同调进行比较，然后归约到计算 ${\rm{Ext}}^1_{B(n)}(S^d E,K_\lambda)$，其中 $B(n)$ 是 $G(n)$ 的博雷尔子群，$S^dE$ 表示 $G(n)$ 的自然模 $E$ 的第 $d$ 个对称幂，$K_\lambda$ 表示具有权 $\lambda$ 的一维 $B(n)$-模。主要的新输入是通过以下方式描述模扩张：扩张序列、扩张序列的连贯三元组以及扩张序列的连贯多重序列，并详细计算此类序列的可能性。这些序列源于 $G(n)$ 的超代数负部分中除幂元素的作用。