关于对称群 Young 模的上同调

本文的主要结果是应用空间 $Q(X)$ 的拓扑结构，以获得关于 $d$ 个字母的对称群 $\Sigma_d$ 在各种 Young 模选择下具有“扭曲”系数的上同调结果，并表明这些计算可归结为表示论中的某些自然问题。作者扩展了分析具有模 $p$ 系数的某些空间 $Q(X)$ 同调的经典方法，以描述同调 $\HH_{\bullet}(\Sigma_d, V^{\otimes d})$ 作为特征为 $p$ 的代数闭域 $k$ 上一般线性群 $GL(V)$ 的模。作为直接应用，这些结果提供了一种方法，将 $\text{Ext}^{\bullet}_{\Sigma_{d}}(Y^{\lambda},Y^{\mu})$（其中 $Y^{\lambda}$，$Y^{\mu}$ 为 Young 模）的计算简化为涉及张量积和分解数确定的表示论问题。特别是在特征为二时，对于许多 $d$，可以找到 $\Hs Y^\lambda)$ 的完整确定。这是第一类非平凡的对称群模，可以给出所有次数上同调的完整描述。对于任意 $d$，作者确定了 $i=0,1,2$ 时的 $\HH^i(\Sigma_d,Y^\lambda)$。我们发现了一个有趣的现象——即一个类似于代数群泛型上同调的稳定性结果。对于每个 $i$，当 $a$ 增加时，上同调 $\HH^i(\Sigma_{p^ad}, Y^{p^a\lambda})$ 趋于稳定。本文的方法也足够强大，可以精确确定对于任何 $p$ 和 $\lambda$，何时 $\HH^{\bullet}(\sd,Y^\lambda)=0$。这类具有消失上同调的模在表示论中具有重要意义，因为它们的支撑簇构成了表示论核。