流形模空间的幺半群

我们从Tillmann和Galatius-Madsen-Tillmann-Weiss的角度研究d维配边范畴。存在一个范畴$C_\theta$,其对象为闭光滑(d-1)维流形,态射为光滑d维配边,并配备了由纤维化$\theta : X \to BO(d)$指定的广义定向。GMTW的主要结果是确定了分类空间$BC_\theta$的同伦型。本文的目标是系统研究$C_\theta$的子范畴$D$,其分类空间与$C_\theta$的分类空间同伦等价,且这样的$D$越小越好。我们证明,在大多数感兴趣的情况下,$D$可以被选为一个同伦交换幺半群。作为推论,我们证明了许多具有$\theta$结构的曲面模空间的稳定上同调是某个Thom谱的无穷环路空间的上同调。这对于某些特殊的$\theta$是已知的,利用了同调稳定性结果;我们的工作独立于这些结果,并涵盖了更多情况。