论无穷维酉群的一阶上同调

群 $U(\infty)$（紧酉群 $U(n)$ 的可数直接极限）的不可约酉最高权表示 $(\pi_\lambda,\mathcal{H}_\lambda)$ 由权 $\lambda \in \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$ 在有限置换的外尔群 $S_{(\mathbb{N})}$ 作用下的轨道分类。本文我们确定那些使一阶上同调空间 $H^1(U(\infty),\pi_\lambda,\mathcal{H}_\lambda)$ 为零的权 $\lambda$。对于有限支撑且 $\lambda \neq 0$ 的情形，我们发现一阶上同调空间 $H^1(U(\infty),\pi_\lambda,\mathcal{H}_\lambda)$ 永不消失。对于这些 $\lambda$，最高权表示可延拓为赋予强算子拓扑的全酉群 $U(\mathcal{H})$（其中 $\mathcal{H}:= \ell^2(\mathbb{N},\mathbb{C})$）的范数连续不可约表示，以及酉群 $U_p(\mathcal{H})$（$p\in [1,\infty]$）的范数连续表示，后者由满足 $g-\mathbb{1}$ 属于第 $p$ 类 Schatten 类的酉算子 $g\in U(\mathcal{H})$ 组成。然而，并非 $U(\infty)$ 上的每个 1-上循环都自动延拓到这些酉群上的 1-上循环，因此我们不能断定延拓表示的一阶上同调空间非零。相反，对于群 $U(\mathcal{H})$ 和 $U_\infty(\mathcal{H})$，所有一阶上同调空间均为零。这对于群 $U_p(\mathcal{H})$（$1\leq p <\infty$）则不同，其中只有 $\mathcal{H}$ 及其对偶上的自然表示具有为零的一阶上同调空间。