射影酉表示空间的拓扑性质

设 $G$ 为紧连通李群，$PU(\mathcal H)$ 为可分希尔伯特空间 $\mathcal H$ 上赋予强算子拓扑的射影酉算子群。我们研究从 $G$ 到 $PU(\mathcal H)$ 的连续同态空间 $hom_{st}(G, PU(\mathcal H))$，这些同态是稳定的，即其诱导表示包含每个不可约表示无穷多次。我们证明 $hom_{st}(G, PU(\mathcal H))$ 的连通分支由 $G$ 的 $S^1$-中心扩张的同构类参数化，且每个连通分支以群 $hom(G,S^1)$ 为基本群，高阶同伦群平凡。我们研究共轭映射 $PU(\mathcal H) \to hom_{st}(G, PU(\mathcal H))$, $F \mapsto F\alpha F^{-1}$，证明它不具有局部截面，并证明对于映射 $B \to hom_{st}(G, PU(\mathcal H))$（其中 $B$ 为有限覆盖维数的仿紧空间），到 $PU(\mathcal H)$ 的局部提升确实存在。