一般拓扑群的正能量表示与射影表示的连续性

设 $G$ 和 $T$ 为拓扑群，$\alpha : T \to \Aut(G)$ 为定义 $T$ 在 $G$ 上连续作用的同态，$G^\sharp := G \rtimes_\alpha T$ 为相应的半直积群。本文探讨了 $G^\sharp$ 的不可约连续酉表示 $(\pi^\sharp, \cH)$ 的几个问题，这些表示限制在 $G$ 上仍保持不可约。首先我们证明，对于 $T = \R$，任何 $G^\sharp$ 的不可约正能量表示（即单参数群 $U_t := \pi^\sharp(\1,t)$ 具有非负谱）均属于这种情况。从 $G$ 的不可约酉表示过渡到 $G^\sharp$ 的表示，要求某些射影酉表示是连续的。为了便于验证这一性质，我们推导了多种关于射影酉表示连续性的有效判据。基于 Borchers 关于 $W^*$-动力系统的结果，我们还刻画了可延拓至 $G^\sharp$ 的 $G$ 上连续正定函数。