某些半群代数的模上同调与 Hochschild 上同调

我们研究了具有相容模结构的 Banach 代数的模上同调群与 Hochschild 上同调群之间的关系。更确切地说，我们证明了对于任意交换 Banach $\mathcal{A}$-$\mathfrak{A}$-双模 $X$ 和任意 $k \in \mathbb{N}$，半赋范空间 $\mathcal{H}^{k}_{\mathfrak{A}} (\mathcal{A},X^*)$ 与 $\mathcal{H}^k (\frac{\mathcal{A}}{J}, X^*)$ 是同构的，其中 $J$ 是由形如 $a (\alpha \cdot b)-(a\cdot \alpha)b$ 的元素生成的 $\mathcal{A}$ 的闭理想，这里 $a,b \in \mathcal{A}$ 且 $\alpha \in \mathfrak{A}$。作为示例，我们计算了系数为某些相关函数代数的逆半群代数的模上同调。特别地，我们证明了对于具有幂等元集 $E$ 的逆半群 $S$，当 $\ell^1(E)$ 通过右乘平凡左作用作用于 $\ell^1(S)$ 时，对于每个 $n \in \mathbb{N}$，第一模上同调 $\mathcal{H}^1_{\ell^1(E)} (\ell^1(S), \ell^1(G_S)^{(2n+1)})$ 是平凡的。由此我们得出结论，第二模上同调 $\mathcal{H}^2_{\ell^1(E)} (\ell^1(S),\ell^1(G_S)^{(2n+1)})$ 是一个 Banach 空间，其中 $G_S$ 是 $S$ 的最大群同态像。