Coxeter 群的加权 $L^2$-上同调

给定一个 Coxeter 系统 $(W,S)$ 以及一个正实数多参数 $\bq$，我们研究与 $(W,S)$ 相关的某个单纯复形 $\Sigma$ 的“加权 $L^2$-上同调群”。这些上同调群是 Hilbert 空间，同时也是与 $(W,S)$ 及多参数 $q$ 相关的 Hecke 代数上的模。它们关于相关的“Hecke-von Neumann 代数” $N_q$ 具有“von Neumann 维数”。第 $i$ 个上同调群的维数记为 $b^i_q(\Sigma)$。它是一个非负实数，且随 $q$ 连续变化。当 $q$ 为整数时，$b^i_q(\Sigma)$ 是型为 $(W,S)$、厚度为 $q$ 的建筑物的通常 $L^2$-Betti 数。对于某一范围的 $q$，我们将这些上同调群作为 $N_q$ 上的模进行计算，并得到 $b^i_q(\Sigma)$ 的显式公式。我们计算有效的 $q$ 范围依赖于 $W$ 的增长级数的收敛区域。在此范围内，我们还证明了 $N_q$ 的一个分解定理，类似于 L. Solomon 关于有限 Coxeter 群的群代数分解的一个定理。