$\text{PSL}_2(q)$ 的上同调

2011 年, Guralnick 与 Tiep 证明: 若 $G$ 为 Chevalley 群, $B$ 为其 Borel 子群, $V$ 为交叉特征下的不可约 $G$-模且 $V^B = 0$, 则 $H^1(G,V)$ 的维数由 $B$ 的陪集上的置换模的结构决定。我们将该定理推广到高阶上同调及任意有限群: 若 $H \leq G$ 满足 $O_{r'}(H) = O^r(H)$, 且对特征 $r$ 下的 $G$-模 $V$ 有 $V^H = 0$, 则 $\dim H^1(G,V)$ 由 $H$ 的陪集上的置换模的结构决定, 而 $H^n(G,V)$ 由某个依赖于 $H$ 的 $kG$-模 $M$ 的 $\text{Ext}_G^{n-1}(V^*,M)$ 决定。我们还确定了在交叉特征下, 对 $G \in \{\text{PSL}_2(q), \text{PGL}_2(q), \text{SL}_2(q)\}$ 的所有不可约 $kG$-模 $V$, $W$ 的 $\text{Ext}_G^n(V,W)$。