p阶循环群的模协变

设 $G$ 为 $p$ 阶循环群，$k$ 为特征 $p$ 的域，$V, W$ 为 $kG$-模。我们研究协变模 $k[V,W]^G = (S(V^*) \otimes W)^G$。对于维数为 2 的不可分解 $V$ 和任意不可分解模 $W$，我们证明 $k[V,W]^G$ 是自由 $k[V]^G$-模（恢复了 Broer 与 Chuai 的一个结果），并给出在 $k[V]^G$ 上自由生成 $k[V,W]^G$ 的一组显式协变。对于维数为 3 的不可分解 $V$ 和维数不超过 5 的不可分解模 $W$，我们证明 $k[V,W]^G$ 是 Cohen-Macaulay 的 $k[V]^G$-模（再次恢复 Broer 与 Chuai 的结果），并给出在 $k[V]^G$ 的齐次参数系上自由生成 $k[V,W]^G$ 的一组显式协变。我们猜想当 $W$ 为任意维数时，类似的协变集合在 $k[V]^G$ 的齐次参数系上自由生成 $k[V,W]^G$。