$\mathbb{P}^1$ 上向量丛模栈的交叉理论

我们确定了 $\mathbb{P}^1$ 丛上秩为 $r$、次数为 $d$ 的向量丛模栈 $\mathcal{B}_{r,d}$ 的整 Chow 环与上同调环。我们首先证明有理 Chow 环 $A_{\mathbb{Q}}^*(\mathcal{B}_{r,d})$ 是关于 $2r+1$ 个生成元的自由 $\mathbb{Q}$-代数。该环的同构类恰好与 $d$ 无关。接着，我们证明整 Chow 环 $A^*(\mathcal{B}_{r,d})$ 无挠，并给出其作为 $A_{\mathbb{Q}}^*(\mathcal{B}_{r,d})$ 子环的乘法生成元。由该描述可见，$A^*(\mathcal{B}_{r,d})$ 作为 $\mathbb{Z}$-代数并非有限生成。最后，$\mathcal{B}_{r,d}$ 的上同调环同构于其 Chow 环。