超椭圆轨迹上泛 Picard 栈的 Chow 环

设 $\mathscr{J}^d_g \to \mathscr{M}_g$ 为参数化亏格 $g$ 曲线上 $d$ 次线丛的泛 Picard 栈，并设 $\mathscr{J}^d_{2,g}$ 为其在超椭圆曲线轨迹 $\mathscr{H}_{2,g} \subset \mathscr{M}_g$ 上的限制。我们确定了所有 $d$ 和 $g$ 的 $\mathscr{J}^d_{2,g}$ 的有理 Chow 环。特别地，我们证明它由 $\mathscr{J}^d_g$ 上 tautological 类的限制生成，并确定了这些类的限制之间的所有关系。我们还计算了 $\mathscr{J}^d_{2,g}$ 的整 Picard 群，完成（并推广到 $\mathrm{PGL}_2$-等变情形）了 Erman 和 Wood 先前的工作。作为推论，我们证明 $\mathscr{J}^d_{2,g}$ 要么是其刚化上的平凡 $\mathbb{G}_m$-gerbe，要么具有阶为 $2$ 的 Brauer 类，具体取决于 $d - g$ 的奇偶性。