关于李幂零结合相对自由代数的 $\mathrm{GL}(n)$-模结构

设 $K\left\langle X \right\rangle$ 表示特征为 $0$ 的域 $K$ 上由集合 $X = \{x_1, \dots, x_n\}$ 生成的自由结合代数。对 $p \geq 2$，令 $I_p$ 表示 $K\left\langle X \right\rangle$ 中由所有形如 $[u_1, \dots, u_p]$ 的交换子生成的两侧理想，其中 $u_1, \dots, u_p \in K\left\langle X \right\rangle$。我们讨论在标准对角作用下商 $K\left\langle X \right\rangle / I_{p+1}$ 对所有 $p \geq 1$ 的 $\mathrm{GL}(n, K)$-模结构。我们给出划分 $\lambda$ 的值的界，使得不可约 $\mathrm{GL}(n, K)$-模 $V_{\lambda}$ 作为 $\mathrm{GL}(n, K)$-模出现在 $K\left\langle X \right\rangle / I_{p+1}$ 的分解中。作为一个应用，我们取 $K = \mathbb{C}$ 并考虑不变量代数 $(\mathbb{C}\left\langle X \right\rangle / I_{p+1})^G$，其中 $G = \mathrm{SL}(n, \mathbb{C})$、$\mathrm{O}(n, \mathbb{C})$、$\mathrm{SO}(n, \mathbb{C})$ 或 $\mathrm{Sp}(2s, \mathbb{C})$（对 $n=2s$）。由 Domokos 和 Drensky 的定理，$(\mathbb{C}\left\langle X \right\rangle / I_{p+1})^G$ 有限生成。我们给出 $(\mathbb{C}\left\langle X \right\rangle / I_{p+1})^G$ 在极小生成集中的生成元次数的上界。类似地，我们也考虑不变量代数 $(\mathbb{C}\left\langle X \right\rangle / I_{p+1})^{G}$，其中 $G=\mathrm{UT}(n, \mathbb{C})$，并给出极小生成集中生成元次数的上界。这些结果从经典不变量理论的角度提供了关于 $\mathbb{C}\left\langle X \right\rangle^G$ 中不变量的有用信息。特别地，对如上所有 $G$，我们给出 $\mathbb{C}\left\langle X \right\rangle$ 的 $G$-不变量属于 $I_p$ 的判据。