4 类泛李幂零结合代数中的关系

设 $K$ 为含幺交换结合环，$K \langle X \rangle$ 为在非空自由生成元集 $X$ 上的自由含幺结合 $K$-代数。通过 $[a_1, a_2] = a_1 a_2 - a_2 a_1$，$[a_1, \dots , a_{n-1}, a_n] = [[a_1, \dots , a_{n-1}], a_n]$ $(n \ge 3)$ 归纳定义左规范换位子 $[a_1, a_2, \dots , a_n]$。对于 $n \ge 2$，令 $T^{(n)}$ 为 $K \langle X \rangle$ 中由所有换位子 $[a_1,a_2, \dots , a_n]$ $( a_i \in K \langle X \rangle )$ 生成的双边理想。易见理想 $T^{(2)}$ 由换位子 $[x_1, x_2]$ $(x_i \in X)$ 生成（作为 $K \langle X \rangle$ 中的双边理想）。众所周知，$T^{(3)}$ 由多项式 $[x_1,x_2,x_3]$ 和 $[x_1,x_2][x_3,x_4] + [x_1,x_3][x_2,x_4]$ $(x_i \in X)$ 生成。若 $\frac{1}{3} \in K$，则 $T^{(4)}$ 的类似生成集包含 3 类 $x_i \in X$ 的多项式；若 $\frac{1}{3} \notin K$，则包含 5 类。在本文中，我们给出了 $T^{(5)}$ 的一个生成集，其中包含 8 类 $x_i \in X$ 的多项式。