李幂零结合环的加法群

设 $Z<X>$ 是由无限可数集 $X = \{x_1, x_2, \dots\}$ 自由生成的自由酉结合环。定义左范数换位子 $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ 为 $[a,b] = ab - ba$, $[a,b,c] = [[a,b],c]$。对于 $n \ge 2$, 令 $T^{(n)}$ 是由所有换位子 $[a_1,a_2,\dots, a_n]$ ($a_i \in Z<X>$) 生成的 $Z<X>$ 中的理想。容易看出商环 $Z<X> /T^{(2)}$ 的加法群是自由阿贝尔群。最近 Bhupatiraju、Etingof、Jordan、Kuszmaul 和 Li 注意到 $Z<X> /T^{(3)}$ 的加法群也是自由阿贝尔群。在本文中，我们证明对于 $Z<X> /T^{(4)}$ 情况并非如此。更精确地说，令 $T^{(3,2)}$ 是由 $T^{(4)}$ 以及所有元素 $[a_1, a_2, a_3][a_4, a_5]$ ($a_i \in Z<X>$) 生成的 $Z<X>$ 中的理想。我们证明 $T^{(3,2)}/T^{(4)}$ 是一个非平凡初等阿贝尔 $3$-群，并且 $Z<X> /T^{(3,2)}$ 的加法群是自由阿贝尔群。