带赋值除法环中的自由群代数（二）

我们应用前期工作中发展的滤过与分次方法，在除法环中找寻（非交换）自由群代数。若 $L$ 为李代数，我们以 $U(L)$ 记其泛包络代数。P. M. Cohn 构造了一个包含 $U(L)$ 的除法环 $\mathfrak{D}_L$。我们以 $\mathfrak{D}(L)$ 记由 $U(L)$ 生成的 $\mathfrak{D}_L$ 的除法子环。设 $k$ 为特征零的域，$L$ 为非交换李 $k$-代数。若 $L$ 为剩余幂零或 $U(L)$ 为 Ore 整环，我们证明 $\mathfrak{D}(L)$ 包含（非交换）自由群代数。在同样这些情形下，若 $L$ 配备对合，我们能在大多数情况下证明 $\mathfrak{D}(L)$ 中的自由群代数可选为由对称元生成。设 $G$ 为非交换剩余无挠幂零群，$k(G)$ 为由群代数 $k[G]$ 生成的 Malcev-Neumann 级数环的除法子环。若 $G$ 配备对合，我们证明 $k(G)$ 包含一个由对称元生成的（非交换）自由群代数。