微分算子李代数的包络代数

本文旨在证明交换环上一阶微分算子全模的推广——$\operatorname{D}$-李代数——的若干一般性质。$\operatorname{D}$-李代数 $\tilde{L}$ 是 $A/k$ 上的 Lie-Rinehart 代数,配备与李结构相容的 $A\otimes_k A$-模结构。它可视为带有附加结构的 Lie-Rinehart 代数与 Atiyah 代数的同时推广。给定 $\operatorname{D}$-李代数 $\tilde{L}$ 与任意联络 $(\rho, E)$,我们构造联络 $(\rho, E)$ 的泛环 $\tilde{U}^{\otimes}(\tilde{L},\rho)$。当 $A$ 是 Noether 环且 $\tilde{L}$ 与 $E$ 为有限生成 $A$-模时,结合有单位元的环 $\tilde{U}^{\otimes}(\tilde{L},\rho)$ 是 $\operatorname{Diff}(E)$($E$ 上微分算子环)的一个几乎交换的 Noether 子环。它利用 $\operatorname{D}$-李代数的非交换扩张构造。非平坦联络 $(\rho, E)$ 是有限生成 $\tilde{U}^{\otimes}(\tilde{L},\rho)$-模,因此我们可以就 $D$-模意义下谈论 $(\rho, E)$ 的特征簇 $\operatorname{Char}(\rho,E)$。我们可以利用泛环 $\tilde{U}^{\otimes}(\tilde{L},\rho)$ 定义非平坦联络的全纯性概念。这此前仅对平坦联络做过。我们还定义任意非平坦联络的上同调与同调。非平坦联络 $(\rho,E)$ 的上同调与同调利用非 Noether 环 $\operatorname{U}$ 的 $\operatorname{Ext}$ 与 $\operatorname{Tor}$-群定义。当 $A$-模 $E$ 有限生成时,我们总可利用 $\operatorname{U}$ 的 Noether 商来计算上同调与同调。这此前仅对平坦联络做过。