微分算子李代数的分类

在先前的一篇论文中我们引入了 D-李代数 $\tilde{L}$ 的概念。D-李代数 $\tilde{L}$ 是一个具有右 $A$-模结构和满足若干条件的典范中心元 $D$ 的 $A/k$-Lie-Rinehart 代数。我们利用这一概念定义了 $\tilde{L}$-联络范畴的泛包络代数，并定义了任意联络的上同调与同调。在本注记中，我们引入 D-李代数 $\tilde{L}$ 的典范商 $L$，并由此对 $L$ 作为 $A$-模为投射的 D-李代数进行分类。我们对任意 2-闭上链 $f\in \operatorname{Z}^2(\operatorname{Der}_k(A),A)$ 定义一个从 $A/k$-Lie-Rinehart 代数范畴到 D-李代数范畴的函子 $F_{f}(-)$，并利用函子 $F_{f}(-)$ 对具有投射典范商的 D-李代数进行分类。我们给出了 D-李代数非阿贝尔扩张的类似分类。在 $\tilde{L}$ 的典范商 $L$ 作为 $A$-模为投射的情形下，我们对 $\tilde{L}$-联络进行分类。任一 $\tilde{L}$-联络由 2-闭上链 $f\in \operatorname{Z}^2(\operatorname{Der}_k(A),A)$ 和一个 $L$-联络 $(E,\nabla)$ 所决定。我们引入了 $\tilde{L}$-联络的对应与周算子。这一构造旨在将 D-李代数上的联络与对应范畴上的代数闭链联系起来。周算子无法为 $A/k$-Lie-Rinehart 代数上的普通联络所定义，它以非平凡方式依赖于 $\tilde{L}$ 上的右 $A$-模结构，而典范商 $A/k$-Lie-Rinehart 代数 $L$ 不具有此种结构。