通过形变理论构造共形李代数

我们讨论了共形李代数的若干可能定义，特别关注具有 $d$ 维空间各向同性（即含有一个 $\mathfrak{co}(d)$ 子代数，并以规定方式作用于附加生成元）的分次共形李代数。我们沿用近期分类运动学李代数所用的方法，即作为“最阿贝尔的”分次共形代数的形变，对所有 $d\geq 2$ 的情形将这些李代数在同构意义下进行了分类。我们发现当 $d\neq 3$ 时有 17 个同构类，而当 $d=3$ 时有 23 个同构类。李代数收缩在同构类集合上定义了一种偏序，并通过相应的 Hesse 图加以说明。唯一的度量分次共形李代数是单李代数，同构于 $\mathfrak{so}(d{+}1,2)$ 或 $\mathfrak{so}(d{+}2,1)$。我们还计算了分次共形代数的中心扩张并研究了其不变内积。我们发现 $d=3$ 时一个李代数以及 $d=2$ 时两个李代数的中心扩张是度量的。随后我们讨论了共形李代数的其他若干定义（广义共形、Schr"odinger 与 Lifshitz 李代数），并给出了其分类的部分结果。最后我们提出了由我们的结果所引发的一些开放问题。