李代数的实现与交叉模的分类空间

完备微分分次李代数范畴为非单连通空间的有理同伦型提供了良好的代数模型。特别地，任一完备微分分次李代数作为单纯集都有一个实现函子 $\langle -\rangle$。在先前的一篇文章中，我们考虑了集中于 0 次的完备分次李代数 $L_{0}$ 这一特例，并证明了 $\langle L_{0}\rangle$ 同构于与 $L_{0}$ 相关联的 Malcev 群的通常 bar 构造。此处我们考虑集中于 0 次和 1 次的完备微分分次李代数 $L=L_{0}\oplus L_{1}$。我们确立了此类两阶段李代数范畴等价于交叉模与李代数交叉模的显式子范畴，推广了幂零李代数与 Malcev 群之间的等价性。特别地，存在与 $L$ 相关联的交叉模 $\mathcal{C}(L)$。我们证明了 $\mathcal{C}(L)$ 同构于与单纯对 $(\langle L\rangle, \langle L_{0}\rangle)$ 相关联的 Whitehead 交叉模。我们的主要结果是将 $\langle L\rangle$ 辨识为 $\mathcal{C}(L)$ 的分类空间。