微分算子李代数的扩张

本文旨在引入 $\operatorname{D}$-李代数的概念，并证明 $\operatorname{D}$-李代数、$\operatorname{D}$-李代数范畴、$\operatorname{D}$-李代数上的模范畴以及 $\operatorname{D}$-李代数扩张的一些基本性质。$\operatorname{D}$-李代数是一个 $A/k$-Lie-Rinehart 代数，配备一个 $A\otimes_k A$-模结构、一个典范中心元 $D$，以及 $k$-李代数结构与 $A\otimes_k A$-模结构之间的相容性质。多位作者研究了李代数、超李代数、李代数胚和全纯李代数胚的非阿贝尔扩张，我们在本文中给出了一个 $\operatorname{D}$-李代数 $\tilde{L}$ 通过 $A$-李代数 $(W,[,])$ 的所有非阿贝尔扩张的显式构造，其中 $\tilde{L}$ 作为左 $A$-模是投射的，且 $W$ 是一个 $A\otimes_k A$-模并满足 $IW=0$，$I$ 为乘法映射的核。作为推论，我们得到了 $A/k$-Lie-Rinehart 代数 $(L,\alpha)$ 通过 $A$-李代数 $(W,[,])$ 的所有非阿贝尔扩张的显式构造，其中 $L$ 作为左 $A$-模是投射的。