有限伪代数理论

Kac 最近引入的共形代数，对共形场论中算子乘积展开的奇异部分给出了公理化描述。本文的目标是发展共形代数的“多维”类似理论。它们被定义为某一“伪张量”范畴中的 Lie 代数，而非向量空间范畴中的 Lie 代数。伪张量范畴（由 Lambek 以及 Beilinson 和 Drinfeld 引入）是一个配备有“多线性映射”及其复合方式的范畴。这允许定义 Lie 代数、表示、上同调等。从任意余交换（或更一般地，拟三角）Hopf 代数 $H$ 出发可构造此类范畴的一个实例。该范畴中的 Lie 代数称为 Lie $H$-伪代数。本文的主要结果是分类所有作为 $H$-模有限生成的单及半单 Lie $H$-伪代数。我们也开始发展 Lie 伪代数的表示理论；特别地，我们证明了 Lie、Engel 和 Cartan-Jacobson 定理的类似物。我们证明 Lie 伪代数的上同调理论描述扩张与形变，并与 Gelfand-Fuchs 上同调密切相关。Lie 伪代数与经典 Yang-Baxter 方程的解、微分 Lie 代数（由 Ritt 引入）以及非线性演化方程理论中的 Hamilton 形式密切相关。作为我们结果的应用，我们导出了任意有限个不定元下简单及半单线性 Poisson 括号的分类。