Lie 2-代数

我们范畴化 Lie 代数理论，从范畴化向量空间的新概念（或称“2-向量空间”）开始，将其定义为 Vect（向量空间范畴）中的内范畴。然后我们定义“半严格 Lie 2-代数”为一个 2-向量空间配备一个斜对称双线性函子，满足 Jacobi 恒等式直至一个完全反对称的三线性自然变换（称为“Jacobiator”），而该自然变换自身又必须满足某条定律。这第一章的许多内容已出现在与 John Baez 合著的另一篇论文《高阶代数 VI：Lie 2-代数》中。随后我们探索 Lie 代数与称为“quandle”的代数结构之间的关系。quandle 是一个集合配备两个二元运算，满足捕捉群中共轭运算本质性质并用代数编码三个 Reidemeister 移动的公理。确实，我们描述其与群的关系并证明 quandle 给出辫子的不变量。我们进一步证明 Lie 代数与 quandle 都给出 Yang--Baxter 方程的解，并解释共轭如何在 Lie 代数与 quandle 的理论中都起显著作用。受这些共性的启发，我们提供一条使用 quandle 语言从 Lie 群到 Lie 代数的新颖概念性通道。此外，我们提出高维 Lie 理论与高维辫理论之间的关系。我们以证明任一半严格 Lie 2-代数给出 Zamolodchikov 四面体方程的解（它是 Yang--Baxter 方程的高维类比）作为此联系的佐证作结。