增强 Leibniz 代数：结构定理与诱导的 Lie 2-代数

增强 Leibniz 代数是在描述自相互作用 gerbe 的特定高维规范理论背景下出现的一种代数结构。它由一个 Leibniz 代数 $(\mathbb{V},[ \cdot, \cdot ])$、一个在 $\mathbb{V}$ 上取值于另一向量空间 $\mathbb{W}$ 的双线性型，以及一个映射 $t \colon \mathbb{W} \to \mathbb{V}$ 组成，并共同满足四个相容关系。我们的结构定理断言，一个增强 Leibniz 代数由底层的 Leibniz 代数 $(\mathbb{V},[ \cdot, \cdot ])$、其内部的一个适当的交换理想 ${\mathfrak i}$，以及一个仅影响 $\mathbb{W}$ 值乘积的上同调 2-类 $[\Delta]$ 唯一确定。定义 Yang-Mills 型作用量泛函所需的正二次增强 Leibniz 代数，对底层 Leibniz 代数 $(\mathbb{V},[ \cdot, \dot ])$ 施加了相当严格的限制：$\mathbb{V}$ 必须是正二次 Lie 代数 ${\mathfrak g}$ 与一个 ${\mathfrak g}$-模 ${\mathfrak i}$ 的半半直积，$\mathbb{V} \cong {\mathfrak g}\ltimes{\mathfrak i}$，此时 ${\mathfrak i}$ 即上述理想。本文的第二个主要结果是构造了一个从此类增强 Leibniz 代数范畴到（半严格）Lie 2-代数范畴（等价地，两项 $L_\infty$-代数范畴）的函子。