It\^o 定理与亚交换 Leibniz 代数

我们证明了著名的群论 It\^o 定理在 Leibniz 代数层面依然成立：若 $\mathfrak{g}$ 是一个 Leibniz 代数，且 $\mathfrak{g} = A + B$，其中 $A$ 和 $B$ 是两个交换子代数，则 $\mathfrak{g}$ 是亚交换的，即 $[ \, [\mathfrak{g}, \, \mathfrak{g}], \, [ \mathfrak{g}, \, \mathfrak{g} ] \, ] = 0$。我们证明了亚交换 Leibniz/Lie 代数的一个结构型定理。所有导代数维数为 $1$ 的亚交换 Leibniz 代数均被描述和分类，并且其自同构群被显式地确定为与任意向量空间 $P$ 相关联的群的半直积 $P^* \ltimes \bigl(k^* \times {\rm Aut}_{k} (P) \bigl)$ 的子群。