关于 Bernstein 代数的结构与分类

我们证明任意 Bernstein 代数 $(A, \omega)$ 同构于半直积 $V \ltimes_{(\cdot, \, \Omega)} \, k$，其关联一个交换代数 $(V, \cdot)$ 使得对所有 $x\in A$ 有 $(x^2)^2 = 0$，以及一个幂等自同态 $\Omega = \Omega^2 \in {\rm End}_k (V)$ 满足两个相容条件。$(1 + |I|)$ 维 Bernstein 代数的类型集合由一显式构造（使用线性代数工具）的分类对象所参数化。任意 Bernstein 代数的自同构群被描述为典范群半直积 $(V, +) \ltimes {\rm GL}_k (V)$ 的子群。