4-代数的交叉积及其应用

4-代数是指域 $k$ 上的交换代数 $A$，使得对所有 $a \in A$ 均有 $(a^2)^2 = 0$。我们最近在 \cite{Mil} 中证明，4-代数在有限维 Bernstein 代数的分类中起着突出作用。设 $A$ 为 4-代数，$E$ 为向量空间，$\pi : E \to A$ 为满线性映射且 $V = {\rm Ker} (\pi)$。我们描述并分类了 $E$ 上所有使得 $\pi : E \to A$ 为代数映射的 4-代数结构，所用分类工具为整体上同调对象 ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (A, \, V)$。任一这样的 4-代数都同构于交叉积 $V \# A$，且 ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (A, \, V)$ 是所有 $V$ 上 4-代数结构 $\cdot_V$ 的非交换上同调 ${\mathbb H}^{2}_{\rm nab} \, \bigl(A, \, (V, \, \cdot_{V} )\bigl)$ 的 coproduct（余积），而这些非交换上同调正是以 $V$ 对 $A$ 作扩张的分类对象。我们给出了若干应用与例子：特别地，显式计算了 ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (A, \, k)$ 与 ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (k, \, V)$，并描述了扩张 $V \hookrightarrow V \# A$ 的 Galois 群 ${\rm Gal} \, (V \# A/ V )$。