关于一类交换代数

我们引入 Jacobi-Jordan 代数的一些基本概念，如表示、交叉乘积或 Frobenius/亚交换/余旗对象。由任意 3-步幂零 Jacobi-Jordan 代数构造了量子 Yang-Baxter 方程的一族新解。交叉乘积用于以全局形式构造扩张问题的分类对象。对于给定的 Jacobi-Jordan 代数 $A$ 和给定维数为 $\mathfrak{c}$ 的向量空间 $V$，构造了全局非交换上同调对象 ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (A, \, V)$：它从扩张问题的观点对所有在 $A$ 上有满代数映射且核维数为 $\mathfrak{c}$ 的 Jacobi-Jordan 代数进行分类。负责余旗代数分类的对象 ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (A, \, k)$ 被计算，所有在 $A$ 上有满代数映射的 $1 + {\rm dim} (A)$ 维 Jacobi-Jordan 代数被分类，并确定了这些代数的自同构群。提供了涉及特殊矩阵集和对称双线性形式以及它们之间等价关系（推广等距关系）的几个例子。