全局扩张问题、交叉积与共旗非交换泊松代数

设 $P$ 为一个泊松代数，$E$ 为一个向量空间，$\pi : E \to P$ 为一个向量空间的满同态，且 $V = {\rm Ker} (\pi)$。全局扩张问题要求对所有可定义在 $E$ 上的泊松代数结构进行分类，使得 $\pi : E \to P$ 成为泊松代数的同态。从几何观点来看，这意味着将该群胚分解为连通分支，并在每个这样的分支中指出一个点。$E$ 上所有此类泊松代数结构均由一个显式构造的分类集 ${\mathcal G} {\mathcal P} {\mathcal H}^{2} \, (P, \, V)$ 进行分类，该集合是所有非阿贝尔上同调对象 ${\mathcal P} {\mathcal H}^{2} \, (P, \, (V, \cdot_V, [-,-]_V))$ 的上积，而这些对象是所有 $P$ 由 $(V, \cdot_V, [-,-]_V)$ 扩张的分类集。第二经典泊松上同调群 $H^2 (P, V)$ 作为 ${\mathcal G} {\mathcal P} {\mathcal H}^{2} \, (P, \, V)$ 所有分量中最基本的部分出现。我们在亚阿贝尔泊松代数或 $P$ 上的共旗泊松代数的情形下提供了若干例子：后者是指那些容许有限链的泊松代数满同态 $P_n : = Q \stackrel{\pi_{n}}{\longrightarrow} P_{n-1} \, \cdots \, P_1 \stackrel{\pi_{1}} {\longrightarrow} P_{0} := P$ 的泊松代数 $Q$，使得对于所有 $i = 1, \cdots, n$，有 ${\rm dim} ( {\rm Ker} (\pi_{i}) ) = 1$。