全局扩张问题、co-flag 与亚阿贝尔 Leibniz 代数

设 $\mathfrak{L}$ 为一个 Leibniz 代数，$E$ 为一个向量空间，$\pi : E \to \mathfrak{L}$ 为一个向量空间的满射，且 $\mathfrak{g} = {\rm Ker} (\pi)$。全局扩张问题要求分类所有可以定义在 $E$ 上的 Leibniz 代数结构，使得 $\pi : E \to \mathfrak{L}$ 成为 Leibniz 代数的同态：从几何观点来看，这意味着给出所有此类结构的群胚在其连通分支中的分解，并指出每个分支中的一个点。所有此类 $E$ 上的 Leibniz 代数结构由一个全局上同调对象 ${\mathbb G} {\mathbb H} {\mathbb L}^{2} \, (\mathfrak{L}, \, \mathfrak{g})$ 分类，该对象已被显式构造。研究表明，${\mathbb G} {\mathbb H} {\mathbb L}^{2} \, (\mathfrak{L}, \, \mathfrak{g})$ 是所有局部上同调对象 ${\mathbb H} {\mathbb L}^{2} \, \, (\mathfrak{L}, \, (\mathfrak{g}, [-,-]_{\mathfrak{g}}))$ 的上积，后者是分类 $\mathfrak{L}$ 通过 $\mathfrak{g}$ 上所有 Leibniz 代数结构 $(\mathfrak{g}, [-,-]_{\mathfrak{g}})$ 的所有扩张的分类集。Loday 和 Pirashvili 的第二上同调群 ${\rm HL}^2 \, (\mathfrak{L}, \, \mathfrak{g})$ 作为 ${\mathbb G} {\mathbb H} {\mathbb L}^{2} \, (\mathfrak{L}, \, \mathfrak{g})$ 所有分量中最基本的部分出现。针对 $\mathfrak{L}$ 上的 co-flag Leibniz 代数（即具有有限链 Leibniz 代数满射 $\mathfrak{L}_n : = \mathfrak{h} \stackrel{\pi_{n}}{\longrightarrow} \mathfrak{L}_{n-1} \, \cdots \, \mathfrak{L}_1 \stackrel{\pi_{1}} {\longrightarrow} \mathfrak{L}_{0} := \mathfrak{L}$ 的 Leibniz 代数 $\mathfrak{h}$，使得对于所有 $i = 1, \cdots, n$，有 ${\rm dim} ({\rm Ker} (\pi_{i})) = 1$）详细计算了几个例子。