与不可约广义旗流形相关的量子代数

本文第一部分研究由 Berenstein 和 Zwicknagl 定义的 $U_q(g)$ 型 1 表示的量子对称代数和量子外代数的某些性质。我们定义了余边界范畴中交换代数对象的概念，并证明了模的量子对称代数是由该模生成的泛交换代数。换言之，将模映射为其量子对称代数的函子是遗忘函子的左伴随。我们还证明了 Berenstein 和 Zwicknagl 的一个猜想，即量子对称立方和量子外立方相对于其经典对应物表现出相同程度的“坍缩”。我们证明了那些作为其经典类似物的平坦变形的量子外代数是 Frobenius 代数。我们还发展了一个严格的框架，用于讨论当变形参数 $q$ 沿正实线变化时，所涉及结构的连续性和极限。第二部分处理 Clifford 代数的量子类似物及其在某些量子齐性空间非交换几何中的应用。我们通过在第一部分讨论的一个平坦量子外代数上的产生和湮灭算子，借助旋量表示引入了量子 Clifford 代数。旋量表示不可约的证明依赖于前述的 Frobenius 性质。我们利用该量子 Clifford 代数重新审视了 Krahmer 在量化不可约旗流形上构造 Dolbeault-Dirac 型算子的工作。该算子形式为 $d+d^*$，我们将 $d$ 与特定量子对称代数的 Koszul 复形的边界算子联系起来，从而表明 $d^2=0$。这是迈向 Dirac 算子平方谱的 Parthasarathy 型公式的第一步。