${\cal Z}$ 代数的量子类比

我们通过从水平 $k$ 的量子仿射代数 $U_q(\hat{sl(2)})$ 中模掉 Heisenberg 代数,定义 ${\cal Z}$ 代数的一个自然量子类比,称之为 ${\cal Z}_q$ 代数。我们讨论该 ${\cal Z}_q$ 代数的表示理论。特别地,我们展示了当 $k=1$ 和 $k=2$ 时它分别约化为一个群代数,以及一个群代数与量子 Clifford 代数的张量积,从而我们分别恢复了 Frenkel-Jing 和 Bernard 所给出的 $\uq$-标准模的显式构造。此外,对任意非零水平 $k$,我们证明 Lepowsky 和 primc 所构造的最简单 ${\cal Z}$-广义 Verma 模的显式基也是其对应 ${\cal Z}_q$-模的基,即它对一般的 q 在 q-变形下不变。我们期望这个 ${\cal Z}_q$ 代数(与水平 $k$ 的 $\uq$ 相关联)在非临界 $Z_k$ 统计模型中扮演动力学对称性的角色。