一般 $q$ 下量子坐标代数的表示与接线图

本文致力于半单李群 $G$ 与一般参数 $q$ 下量子坐标代数 $\mathbb{C}_q[G]$ 的表示理论。通过考察正规元素在张量模上的作用，我们将 Levendorski 和 Soibelman 在[22]中关于最高权模的结果进行了推广。对于双重 Bruhat 胞腔 $G^{w_1,w_2}$，我们以一种新的方式描述了素谱 $\mathrm{prim}\,\mathbb{C}_q[G]_{w_1,w_2}$，并在 $\mathrm{Supp}(w_1)\cap\mathrm{Supp}(w_2)=\varnothing$ 或具有足够枢轴元素时，在 $\mathrm{prim}\,\mathbb{C}_q[G]_{w_1,w_2}$ 上构造了一族 $(w_1,w_2)$ 型单模。该丛的纤维被证明是二维量子环面 $L_q(2)$ 的单模谱的乘积。作为我们理论的应用，我们推导了张量模为单模的等价条件，并在 $G=SL_3(\mathbb{C})$ 时为每个素理想构造了一些单模。这完成了 $\mathbb{C}_q[SL_3]$ 的 Dixmier 纲领。由 Fomin 和 Zelevinsky 在其全正性研究（参见[3,9]）中引入的接线图，是 A 型情形下计算广义量子 minor 在张量模上作用的主要工具。我们得到了 Lindstr\"{o}m 引理的量子版本，它在将表示问题转化为接线图的组合问题中起着重要作用。