q-超几何函数的几何、量子仿射代数与椭圆量子群

与量子群 $U_q(sl_2)$ 关联的三角量子化 Knizhnik-Zamolodchikov 方程（qKZ 方程）是一个以 $U_q(sl_2)$ Verma 模张量积为值的线性差分方程组。我们用多维 q-超几何函数求解该方程，并定义了解空间与椭圆量子群 $E_{\rho,\gamma}(sl_2)$ 上相应赋值 Verma 模张量积之间的自然同构，其中参数 $\rho$ 和 $\gamma$ 通过 $p=e^{2\pii\rho}$ 和 $q=e^{-2\pii\gamma}$ 与量子群 $U_q(sl_2)$ 的参数 $q$ 及 qKZ 方程的步长 $p$ 相关联。我们构造了与合适渐近区关联的渐近解，并用动态椭圆 R-矩阵计算了渐近解之间的过渡函数。对过渡函数的这一描述给出了量子环代数 $U_q(\widetilde{gl}_2)$ 与椭圆量子群 $E_{\rho,\gamma}(sl_2)$ 的表示论之间的联系，并类似于关于微分 Knizhnik-Zamolodchikov 方程单值群的 Kohno-Drinfeld 定理。为建立这些结果，我们构造了离散 Gauss-Manin 联络，特别是合适的离散局部系统、该局部系统系数的离散同调与上同调群，并将相应的差分方程等同于 qKZ 方程。