无限制量子模代数 I：穿孔球面的情形

设 $\Sigma$ 为有限型曲面，$G$ 为复代数单李群，其李代数为 $\mathfrak{g}$。$(\Sigma,G)$ 的量子模代数是 $X_G(\Sigma)$（即 $\pi_1(\Sigma)$ 的 $G$-特征标簇）的函数环的量子化，由 Alekseev-Grosse-Schomerus 与 Buffenoir-Roche 于 90 年代中期引入。它可实现为所谓图代数的不变子代数，这些图代数是与 $\Sigma$ 上图相关联的 $U_q(\mathfrak{g})$-模代数，其中 $U_q(\mathfrak{g})$ 为对应于 $G$ 的量子群。我们研究当 $\Sigma$ 为去掉 $n+1$ 个开圆盘（$n\geq 1$）的球面时量子模代数的结构，利用 $\Sigma$ 上“雏菊”图的图代数以简化计算。我们给出对任意 $G$ 与泛型 $q$ 成立的新结果，并在 $q=\epsilon$（奇阶本原单位根）且 $G={\rm SL}(2,{\mathbb C})$ 的情形发展该理论。在此情形下，我们引入一个 Frobenius 态射，它给出雏菊图代数中心与坐标环 $\mathcal{O}(G^n)$ 的有限扩张的自然识别。我们将 De-Concini-Kac-Procesi 的量子余伴随作用扩展到雏菊图代数，并证明由 Frobenius 态射，该中心上相关的泊松结构对应于 $\mathcal{O}(G^n)$ 上的 Fock-Rosly 泊松结构。我们证明在量子余伴随作用下中心的固定元素集是赋予 Atiyah-Bott-Goldman 泊松结构的 ${\mathbb C}[X_G(\Sigma)]$ 的有限扩张。最后，利用 Wilson 圈算子，我们将 $\zeta:={\rm i}\epsilon^{1/2}$ 处的 Kauffman 括号 skein 代数 $K_{\zeta}(\Sigma)$ 识别为在 $q=\epsilon$ 处特化的该量子模代数。