图的量子邻接代数与子构成代数

设 $\Gamma$ 表示一个有限、无向、连通的图，其顶点集为 $X$。固定一个顶点 $x \in X$。与 $x$ 相关联的是 ${\rm Mat}_X(\mathbb C)$ 的一个特定子代数 $T=T(x)$，称为子构成代数。代数 $T$ 是半单的。Hora 和 Obata 引入了 $T$ 的一个特定子代数 $Q \subseteq T$，称为量子邻接代数。代数 $Q$ 也是半单的。在本文中，我们研究 $Q$ 和 $T$ 之间的关系。在许多情况下 $Q=T$，但这并不普遍成立。为了阐明这一问题，我们引入了拟同构不可约 $T$-模的概念。我们证明了以下命题是等价的：(i) $Q \neq T$；(ii) 存在一对具有不同端点的拟同构不可约 $T$-模。为了说明这一结果，我们考虑了两个例子。第一个例子涉及汉明图。第二个例子涉及二分对偶极图。我们证明了对于第一个例子 $Q=T$，而对于第二个例子 $Q \neq T$。