关于恰有两个端点为2的不可约T-模的二分距离正则图

令$\Gamma$表示一个直径为$D \ge 4$、度数为$k \ge 3$的二分距离正则图。令$X$表示$\Gamma$的顶点集，$A$表示$\Gamma$的邻接矩阵。对于$x \in X$令$T=T(x)$表示由$A, E*_0, E*s_1, \ldots, E*_D$生成的Mat$_X(\mathbb{C}$的子代数，其中对于$0 \le i \le D$，$E*_i$表示到$\Gamma$关于$x$的第$i$个子成分的投影。我们称$T$为关于$x$的{\em Terwilliger algebra}。一个不可约$T$-模$W$被称为{\em thin}（薄），当且仅当对$0 \le i \le D$有dim $E*_i W \le 1$。$W$的{\em endpoint}（端点）意指min$\{i | E*_iW \ne 0\}$。对于$0 \le i \le D$，令$\Gamma_i(z)$表示$X$中与顶点$z$距离为$i$的顶点集合。由交叉数定义参数$\Delta_2$为$\Delta_2 = (k-2)(c_3-1)-(c_2-1)p^2_{22}$。本文中我们证明以下等价：(i) $\Delta_2>0$且对于$2 \le i \le D - 2$存在复数标量$\alpha_i, \beta_i$具有如下性质：对所有满足$\partial(x, y) = 2, \: \partial(x, z) = i, \: \partial(y, z) = i$的$x, y, z \in X$，有$\alpha_i + \beta_i |\Gamma_1(x) \cap \Gamma_1(y) \cap \Gamma_{i-1}(z)| = |\Gamma_{i-1}(x) \cap \Gamma_{i-1}(y) \cap \Gamma_1(z)|;$(ii) 对所有$x \in X$，Terwilliger代数$T(x)$的端点为二的不可约模在同构意义下恰有两个，且这些模是thin（薄）。