关于具有均匀结构的二部图的 $Q$-多项式性质

设 $\Gamma$ 为具有顶点集 $X$ 的有限连通图。固定 $x \in X$ 并设 $\varepsilon \ge 3$ 为 $x$ 的离心率。对于互不相同的标量 $\{\theta^*_i\}_{i=0}^\varepsilon$，定义对角矩阵 $A^*=A^*(\theta^*_0, \theta^*_1, \ldots, \theta^*_{\varepsilon}) \in M_X(\mathbb{R})$ 如下：对于 $y \in X$，令 $(A^*)_{yy} = \theta^*_{\partial(x,y)}$，其中 $\partial$ 表示 $\Gamma$ 的最短路径长度距离函数。如果 $\Gamma$ 的邻接矩阵 $A \in M_X(\mathbb{R})$ 与 $A^*$ 满足 $$A^3 A^* - A^* A^3+(\beta+1)( A A^* A^2 - A^2 A^* A)= \gamma(A^2A^*-A^*A^2)+\rho( A A^* - A^* A)$$（对于某些标量 $\beta, \gamma, \rho\in \mathbb{R}$），则我们称 $A^*$ 为 $\Gamma$ 关于 $x$ 的对偶邻接矩阵候选。现在假设 $\Gamma$ 在 Terwilliger [Coding theory and design theory, Part I, IMA Vol. Math. Appl., 20, 193-212 (1990)] 的意义上关于 $x$ 是均匀的。在本文中，我们给出了关于 $\Gamma$ 均匀结构的充分条件，使得 $\Gamma$ 存在关于 $x$ 的对偶邻接矩阵候选。作为结果的应用，我们证明了对偶极图的全二部图是 $Q$-多项式的。