迈向具有正相交数 $a_1$ 的 $1$-齐次距离正则图的分类

设 $\Gamma$ 为一个直径至少为 2 的图。若对于 $\Gamma$ 中每一对相邻顶点 $x$ 和 $y$，$\Gamma$ 的顶点集关于 $x$ 和 $y$ 的距离划分都是等价的，且对应于等价划分的参数与 $x$ 和 $y$ 的选取无关，则称 $\Gamma$ 是 $1$-齐次的（按 Nomura 的定义）。假设 $\Gamma$ 是具有相交数 $a_1>0$ 且直径 $D\geqslant 5$ 的 $1$-齐次距离正则图。定义 $b=b_1/(\theta_1+1)$，其中 $b_1$ 是相交数，$\theta_1$ 是 $\Gamma$ 的第二大特征值。我们证明，如果相交数 $c_2$ 至少为 $2$，则 $b\geqslant 1$ 且以下 (i)--(vi) 之一成立：(i) $\Gamma$ 是正则近 $2D$-边形，(ii) $\Gamma$ 是 Johnson 图 $J(2D,D)$，(iii) $\Gamma$ 是 $\ell \in \{2D,2D+1\}$ 的半立方图，(iv) $\Gamma$ 是折叠 Johnson 图 $\bar{J}(4D,2D)$，(v) $\Gamma$ 是折叠半 $4D$-立方图，(vi) $\Gamma$ 的度数受 $b$ 的某个函数所界。利用该结果，我们刻画了具有经典参数且 $a_1>0$ 的 $1$-齐次图以及紧距离正则图。