紧密距离正则图

我们考虑直径 $d \ge 3$ 且特征值为 $k=\theta_0>\theta_1>... >\theta_d$ 的距离正则图 $\G$。我们证明交点数 $a_1, b_1$ 满足 $$(\theta_1 + {k \over a_1+1}) (\theta_d + {k \over a_1+1}) \ge - {ka_1b_1 \over (a_1+1)^2}.$$ 当 $\G$ 非二部且上式取等号时，称 $\G$ 为{\it 紧密的}。我们以多种方式来刻画紧密性质。例如，我们证明 $\G$ 紧密当且仅当交点数由涉及 $d$ 个独立参数的某些有理表达式给出。我们证明 $\G$ 紧密当且仅当 $a_1\not=0$、$a_d=0$，且 $\G$ 在 Nomura 意义下是 1-齐次的。我们证明 $\G$ 紧密当且仅当每个局部图是连通强正则的，其非平凡特征值为 $-1-b_1(1+\theta_1)^{-1}$ 与 $-1-b_1(1+\theta_d)^{-1}$。给出了紧密距离正则图的三个无限族与九个孤立例子。