由闭凸集诱导的单位距离子图的连通性

单位距离图 $G_{\mathbb{R}^d}^1$ 是一个无限图，其节点为 $\mathbb{R}^d$ 中的点，若两点之间的欧氏距离为 1 则连一条边。该图的二维版本 $G_{\mathbb{R}^2}^1$ 通常因其色数而被研究，如 Hadwiger-Nelson 问题。然而，单位距离图的其他性质很少被研究。在此，我们考虑 $G_{\mathbb{R}^d}^1$ 到 $\mathbb{R}^d$ 的闭凸子集 $X$ 上的限制。我们证明图 $G_{\mathbb{R}^d}^1[X]$ 连通当且仅当 $X$ 的半径 $r(X)$ 等于 0，或者 $r(X)\geq 1$ 且 $X$ 的仿射维数至少为 2。对于超矩形，我们在半径恰为 1 的临界情形下给出了图直径的界。