$Q$-多项式距离正则图的 Terwilliger 多项式及其在伪划分图中的应用

设 $\Gamma$ 是一个直径至少为 $3$ 的 $Q$-多项式距离正则图。Terwilliger (1993) 隐含地证明了存在一个仅依赖于 $\Gamma$ 的交参数且次数为 $4$ 的多项式 $T(\lambda)\in \mathbb{C}[\lambda]$，使得对于任意顶点 $x\in V(\Gamma)$ 的局部图 $\Gamma(x)$ 的任意非主特征值 $\eta$，均有 $T(\eta)\geq 0$ 成立。我们将 $T(\lambda)$ 称为 $\Gamma$ 的 Terwilliger 多项式。在本文中，我们给出了用 $\Gamma$ 的交参数及其对偶特征值表示的 $T(\lambda)$ 的显式公式。随后，我们应用该多项式证明了所有直径至少为 $3$ 的伪划分图均为已知。