扭曲 Grassmann 图的 Terwilliger 代数：薄情形

有限连通简单图 $\Gamma$ 关于顶点 $x$ 的 Terwilliger 代数 $T(x)$ 是由 $\Gamma$ 的邻接矩阵 $A$ 与对角矩阵 $E_i^*(x)=\operatorname{diag}(v_i)$ $(i=0,1,2,\dots)$ 生成的复半单矩阵代数，其中 $v_i$ 表示距 $x$ 距离为 $i$ 的顶点集合的特征向量。Van Dam 与 Koolen 于 2005 年发现的扭曲 Grassmann 图 $\tilde{J}_q(2D+1,D)$ 在其顶点集上有两个自同构群轨道，且已知其中一个轨道具有如下性质：只要 $x$ 从中选取，$T(x)$ 就是薄的，即每个不可约 $T(x)$-模 $W$ 对所有 $i$ 满足 $\dim E_i^*(x)W\leqslant 1$。本文中，我们确定了该“薄”情形下 $\tilde{J}_q(2D+1,D)$ 的所有不可约 $T(x)$-模。