Grassmann 图 $J_q(N,D)$ 的核

设 $\mathbb{F}_q$ 表示具有 $q$ 个元素的有限域。设 $N$ 和 $D$ 为满足 $N>D \ge 1$ 的整数。设 $\mathcal{V}$ 表示 $\mathbb{F}_q$ 上的 $N$ 维向量空间。Grassmann 图 $J_q(N,D)$ 是以 $\mathcal{V}$ 的所有 $D$ 维子空间为顶点集的图。当两个顶点的交集维数为 $D-1$ 时，它们相邻。固定 $X$ 中的顶点 $x$。$J_q(N,D)$ 关于 $x$ 的 Terwilliger 代数 $T=T(x)$ 是由邻接矩阵 $A$ 和对偶邻接矩阵 $A^* = A^*(x)$ 生成的 $\mathrm{Mat}_X(\mathbb{C})$ 的子代数。已知不可约 $T$-模 $W$ 具有称为端点 $r$、对偶端点 $t$ 和直径 $d$ 的某些参数。$W$ 的位移定义为整数 $r+t-D+d$。令 $\mathcal{N}=\mathcal{N}(x)$ 表示所有位移为 0 的不可约 $T$-模的张成。我们称 $\mathcal{N}$ 为 $J_q(N,D)$ 关于 $x$ 的核。在本文中，我们研究 $\mathcal{N}$ 的结构。具体而言，我们给出了 $\mathcal{N}$ 维数的公式，为 $\mathcal{N}$ 构造了两个显式基，并描述了 $A$ 和 $A^*$ 在这些基上的作用。为了获得这些结果，我们使用由 $\mathcal{V}$ 的所有子空间构成的射影几何 $P_q(N)$ 作为关键工具。