Grassmann图中一个双顶点稳定子的一些轨道

设 $\mathbb{F}_q$ 表示一个具有 $q$ 个元素的有限域。设 $n,k$ 为满足 $n>2k\geq 6$ 的整数。设 $V$ 表示 $\mathbb{F}_{q}$ 上一个维数为 $n$ 的向量空间。Grassmann图 $J_q(n,k)$ 的顶点集由 $V$ 的所有 $k$ 维子空间组成。$J_q(n,k)$ 的两个顶点相邻当且仅当它们的交的维数为 $k-1$。设 $\partial$ 表示 $J_q(n,k)$ 的路径长度距离函数。选取 $J_q(n,k)$ 的顶点 $x,y$，使得 $1<\partial(x,y)<k$。设 $\text{Stab}(x,y)$ 表示 $GL(V)$ 中同时稳定 $x$ 和 $y$ 的子群。在本文中，我们研究了 $\text{Stab}(x,y)$ 作用在局部图 $\Gamma(x)$ 上的轨道。我们证明存在五个轨道。根据构造，这五个轨道给出了 $\Gamma(x)$ 的一个公平划分；我们找到了相应的结构常数。为了更深入地描述这五个轨道，我们引入了与 $J_q(n,k)$ 的第二大特征值相关联的 $J_q(n,k)$ 的欧几里得表示。根据构造，对于每个轨道，其特征向量由关联欧几里得空间中的一个向量表示。我们计算了涉及这五个表示向量的许多内积和线性相关性。